设数列满足 (且)，.
(1)求证：是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)对任意的正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)求证：.
【答案】(1)，;(2);(3) 见解析;
【解析】(1)由可得，所以是首项为，公比为3的等比数列，进而可求得
(2)由题可转化为，即，对任意恒成立，再看成关于m的一次函数，需，解得
的取值范围为.
(3)由(1)知，利用当时，，对进行放缩可得
.
(1)解：由 (且)得 (且)
∵，∴，∴，(且)
∴是首项为3，公比为3的等比数列.
∴.
∴，.
(2)要使对任意的正整数，当时，不等式恒成立，
则须使，
即，对任意恒成立，
∴，解得或，
∴实数的取值范围为.
(3)证明：由(1)知，当时，，
∴，
所以.